第一章 信号与系统

1.1 连续时间信号与离散时间信号

• 连续时间信号：自变量为连续时间的信号
• 离散时间信号：自变量仅仅取在离散值上的信号

1.1.2 信号能量与功率

• 瞬时功率：在时间t点的功率值 \(p(t) = v(t)i(t) = \frac{1}{R} v^2(t)\)
• 在时间间隔 $ [t_1, t_2] $ 内的总能量 \(\int_{t_1}^{t_2} p(t) dt = \int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{R} v^2(t) dt\)
• 平均功率：在时间间隔 \([t_1, t_2]\) 内的平均功率 \(\frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} p(t) dt = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{R} v^2(t) dt\)

若是把信号看成复数x(t), 则t1到t2之间的总能量为 \(\int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt\) ，其中 \(|x(t)|\) 记为信号x(t)的模，总能量除以时间间隔 \(t_2 - t_1\) 即为平均功率。

类似的，离散信号而言：在n1到n2之间的总能量为 \(\sum_{n_1}^{n_2} |x(n)|^2\) ，其中 \(|x(n)|\) 记为信号x(n)的模，总能量除以时间间隔 \(n_2 - n_1 + 1\) 即为平均功率。

Note：这里的功率与能量，与是否真正关联了物理量没有关系。只是在信号处理中，我们通常把信号看成复数，而复数的模平方就是信号的能量。

很多时候，系统的关心TT是信号在一个无穷大的时间间隔内的总TT量与平均功率。这样:

• 连续信号的总能量为： \(lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 dt\)

• 连续信号的平均功率为： \(lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt\)

• 离散信号的总能量为： \(lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{N} |x(n)|^2 = \sum_{-\infty}^\infty |x(n)|^2\)

• 离散信号的平均功率为： \(lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x(n)|^2\)

以上的定义可以区分出三种信号：

• 有限能量信号(平均功率为0)
• 有限功率信号(平均功率为有限值,能量为无限)
• 无限功率且无限能量信号，一个例子就是x(t) = t

1.2 自变量变换

三种自变量变换：

• 时移 \(x[n] -> x[n - n_0]\)

• 时间反转 \(x[n] -> x[-n]\)

• 时间尺度变换 \(x[t] -> x[a*t]\)